ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε' ΤΑΞΗΣ
ΒΙΒΛΙΟ ΕΔΩ
Λογισμικό στα Μαθηματικά Ε' και ΣΤ' τάξης
Ο θαυμαστός κόσμος των Μαθηματικών
" Αγεωμέτρητος μηδείς εισίτω μου την στέγην ".
Τοιχογραφία του Ραφαήλ που εικονίζει την Ακαδημίατου Πλάτωνα.
Στην αρχαιότητα είχε στην είσοδό της την επιγραφή :
" αγεωμέτρητος μηδείς εισίτω μου την στέγην ".
Στην δεξιά γωνία του πίνακα με τον διαβήτη στο χέρι εικονίζεται ο Πυθαγόρας να εξηγεί τα θεωρήματά του.
Πρώτος κάτω αριστερά του παρακολουθεί oΕυκλείδης.
Τοιχογραφία του Ραφαήλ που εικονίζει την Ακαδημίατου Πλάτωνα.
Στην αρχαιότητα είχε στην είσοδό της την επιγραφή :
" αγεωμέτρητος μηδείς εισίτω μου την στέγην ".
Στην δεξιά γωνία του πίνακα με τον διαβήτη στο χέρι εικονίζεται ο Πυθαγόρας να εξηγεί τα θεωρήματά του.
Πρώτος κάτω αριστερά του παρακολουθεί oΕυκλείδης.
"Ο άνθρωπος είναι ένα κλάσμα που αριθμητή έχει
την πραγματική του αξία και παρονομαστή την ιδέα
που έχει για τον εαυτό του. Ο αριθμητής παραμένει
ο ίδιος ( δηλαδή η πραγματική αξία του
ανθρώπου).Γι' αυτό όσο μεγαλύτερος είναι ο
παρονομαστής ( η ιδέα για τον εαυτό του) τόσο
μικρότερο είναι το κλάσμα ( δηλαδή ο άνθρωπος).
Λέων Τολστόι. Ρώσος λογοτέχνης.
Η ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΚΑΙ Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI
Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα.
Γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 και πέθανε το 1250.
Η σειρά Fibonacci είναι η σειρά στην οποία ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων της σειράς και είναι η
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ..
Η ακολουθία Fibonacci και τα κουνέλια
Το πρόβλημα έχει ως εξής:
Σε ένα σπίτι στο χωριό γεννιέται ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά χρειάζονται 2 μήνες για να μεγαλώσουν και να αρχίσουν να γεννούν. Έτσι μετά από δύο μήνες το ζευγάρι αυτό γεννά ένα νέο ζευγάρι στην αρχή κάθε μήνα. Τα νέα ζευγάρια μεγαλώνουν και αναπαράγονται κι αυτά με τον ίδιο τρόπο. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε μετά από 3 μήνες , 4 μήνες , 6 μήνες , μετά από ένα χρόνο;
Απάντηση:
Στην αρχή του πρώτου μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια
Στην αρχή του δεύτερου μήνα έχουμε πάλι ένα ζευγάρι
Στην αρχή του τρίτου μήνα το ζευγάρι γεννά και έχουμε 2 ζευγάρια
Στην αρχή του τέταρτου μήνα το πρώτο ζευγάρι γεννά πάλι , αλλά το δεύτερο δεν είναι σε θέση
ακόμη, δηλαδή 3 ζευγάρια.
Στην αρχή του πέμπτου μήνα γεννά πάλι το αρχικό ζευγάρι , γεννά και το δεύτερο , δε γεννά το τρίτο.
Σύνολο 5 ζευγάρια
Έτσι, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .. Παρατηρήστε ότι κάθε αριθμός στην ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτό είναι λογικό να συμβαίνει μια και στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και ενήλικα ζευγάρια γονέων έχουμε.
Άρα οι αριθμοί Fibonacci είναι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..... με τον κάθε αριθμό να προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του.
1+1=2 , 1+2=3 , 3+5=8 , 5+8=13 ,.....
Tα μαθηματικά και το τριαντάφυλλο - Ακολουθία Fibonacci
Πιάνει στα χέρια του το τριαντάφυλλο και το παρατηρεί προσεκτικά . Διαπιστώνει ότι πάνω στο λουλούδι τα ροδοπέταλα διατάσσονται σε σπειροειδή μορφή. Παίρνει ένα μαχαιράκι και κόβει το λουλούδι. Ξεκινώντας από το κέντρο καταγράφει μια ομάδα με 5 ροδοπέταλα , που ξεφυτρώνουν από την ίδια περιοχή, η αμέσως ευρύτερη ομάδα έχει ( συμπεριλαμβανόμενης των πετάλων της προηγούμενης ) 8 ροδοπέταλα συνολικά, η επόμενη μεγαλύτερη ομάδα ( συμπεριλαμβανόμενων και των εσωτερικών) περιλαμβάνει συνολικά 13,η επόμενη 21 και το σύνολο είναι 34 ροδοπέταλα.
Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα.
Γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 και πέθανε το 1250.
Η σειρά Fibonacci είναι η σειρά στην οποία ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων της σειράς και είναι η
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ..
Η ακολουθία Fibonacci και τα κουνέλια
Το πρόβλημα έχει ως εξής:
Σε ένα σπίτι στο χωριό γεννιέται ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά χρειάζονται 2 μήνες για να μεγαλώσουν και να αρχίσουν να γεννούν. Έτσι μετά από δύο μήνες το ζευγάρι αυτό γεννά ένα νέο ζευγάρι στην αρχή κάθε μήνα. Τα νέα ζευγάρια μεγαλώνουν και αναπαράγονται κι αυτά με τον ίδιο τρόπο. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε μετά από 3 μήνες , 4 μήνες , 6 μήνες , μετά από ένα χρόνο;
Απάντηση:
Στην αρχή του πρώτου μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια
Στην αρχή του δεύτερου μήνα έχουμε πάλι ένα ζευγάρι
Στην αρχή του τρίτου μήνα το ζευγάρι γεννά και έχουμε 2 ζευγάρια
Στην αρχή του τέταρτου μήνα το πρώτο ζευγάρι γεννά πάλι , αλλά το δεύτερο δεν είναι σε θέση
ακόμη, δηλαδή 3 ζευγάρια.
Στην αρχή του πέμπτου μήνα γεννά πάλι το αρχικό ζευγάρι , γεννά και το δεύτερο , δε γεννά το τρίτο.
Σύνολο 5 ζευγάρια
Έτσι, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .. Παρατηρήστε ότι κάθε αριθμός στην ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτό είναι λογικό να συμβαίνει μια και στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και ενήλικα ζευγάρια γονέων έχουμε.
Άρα οι αριθμοί Fibonacci είναι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..... με τον κάθε αριθμό να προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του.
1+1=2 , 1+2=3 , 3+5=8 , 5+8=13 ,.....
Tα μαθηματικά και το τριαντάφυλλο - Ακολουθία Fibonacci
Πιάνει στα χέρια του το τριαντάφυλλο και το παρατηρεί προσεκτικά . Διαπιστώνει ότι πάνω στο λουλούδι τα ροδοπέταλα διατάσσονται σε σπειροειδή μορφή. Παίρνει ένα μαχαιράκι και κόβει το λουλούδι. Ξεκινώντας από το κέντρο καταγράφει μια ομάδα με 5 ροδοπέταλα , που ξεφυτρώνουν από την ίδια περιοχή, η αμέσως ευρύτερη ομάδα έχει ( συμπεριλαμβανόμενης των πετάλων της προηγούμενης ) 8 ροδοπέταλα συνολικά, η επόμενη μεγαλύτερη ομάδα ( συμπεριλαμβανόμενων και των εσωτερικών) περιλαμβάνει συνολικά 13,η επόμενη 21 και το σύνολο είναι 34 ροδοπέταλα.